rosace en arrière plan.

DOSSIER SUR LE

PLAN EN GEOMETRIE :

- géométrie de sixième, pages 1 à 2

- géométrie de cinquième, pages 2 à 3

- géométrie de quatrième, pages 4 à 8

- géométrie de troisième, pages 8 à 14

 

 

GEOMETRIE DE SIXIEME :

Droites parallèles, droites perpendiculaires :

Deux droites sont parallèles si elles ne se coupent jamais.
Deux droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit.

Les droites jaunes sont parallèles

Les droites vertes sont perpendiculaires

Périmètre, aire :

Le périmètre d'une figure, c'est la longueur du tour de la figure, l'aire d'une figure c'est sa surface.

Triangles :

Un triangle est une figure qui a 3 cotés. Il y a plusieurs sortes de triangles :

Un triangle qui a 3 cotés de même longueur s'appelle un triangle équilatéral.
Un triangle qui a 2 cotés de même longueur s'appelle un triangle isocèle.
Un triangle qui a un angle droit s'appelle un triangle rectangle.

La hauteur d'un triangle (droite rouge) est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculiare au coté opposé, appellé la base (droite verte).
L'aire d'un triangle est égale à la longueur de la base (en vert) fois la longueur de la hauteur (en rouge), divisé par 2.

Le triangle ci dessus est un triangle équilatéral.

L'aire d'un triangle est égale à la longueur du coté vert fois la longueur du segment rouge divisé par deux.

 

Quadrilatères :

Un quadrilatère est une figure qui possède 4 cotés.

Un quadrilatère dont les cotés opposés sont parallèles s'appelle un parallèlogramme. Ses diagonales se coupent en leur milieu. Inversement, si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallelogramme.

Un quadrilatère qui possède 4 angles droits s'appelle un rectangle. Ses diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur.

Un quadrilatère qui possède 4 angles droits et 4 cotés de même longueur s'appelle un carré. Ses diagonales se coupent en leur milieu, ont la même longueur, et sont perpendiculaires.

Si les diagonales sont perpendiculaires mais n'ont pas la même longueur, alors le quadrilatère est un losange. C'est un quadrilatère qui a 4 cotés de même longueur.

Cercle :

vaut environ 3,14.
Le périmétre d'un cercle de rayon r est égal à .
L'aire d'un cercle de rayon r est égal à .

GEOMETRIE DE CINQUIEME :

Angles :

Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut 90°. Les angles vert et bleu sont complémentaires.

Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut 180°. Les angles jaune et orange sont supplémentaires.

Dans un triangle, la somme des 3 angles vaut toujours 180°.

Angles, alternes-internes, alternes-externes, opposés par le sommet et correspondants :

Enfin, pour ta culture, tu peux apprendre les notions suivantes.

	Angles opposés par le sommet
	Angles alternes-internes
	Angles alternes-externes
	Angles correspondants

 

GEOMETRIE DE QUATRIEME :

Médiatrice :

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment et qui passe par son milieu.

Bissectrice :

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui divise un angle en deux angles égaux.

Hauteur :

Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet du triangle et coupant son côté opposé en formant un angle droit.

Médiane :

La médiane d'un triangle passe par un sommet et coupe le coté opposé en son milieu.

Une figure à connaître et qui résume tout :

Dans un triangle :
- L'intersection des 3 hauteurs s'appelle l'orthocentre.
- L'intersection des 3 médianes s'appelle le centre de gravité.
- L'intersection des 3 bissectrices est le centre du cercle inscrit.
- L'intersection des 3 médiatrices est le centre du cercle circoncrit.

Le centre de gravité d'un triangle est toujours situé aux 2 tiers de chaque médiane en partant des sommets du triangle.

THEOREME DE PYTHAGORE :

Pythagore est un savant qui vivait il y a plus de 2000 ans en Grèce et qui a découvert une proprieté permettant de calculer des longueurs dans un triangle rectangle.

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Quand on connait la longueur de deux cotés d'un triangle rectangle, on peut connaître la longueur du troisième. Il faut utiliser le théorème de Pythagore.

Hypothénuse d'un triangle :

Dans un triangle rectangle, le plus grand coté s'appelle l'hypothénuse.

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.

Autrement dit :

Exemples d'utilisation du théorème :

Calculer SX. cm

Calculer AD. cm

Calculer NU. cm

Pour démontrer qu'un triangle est rectangle en un point et que tu connais la longueur des 3 cotés, alors il faut utiliser la réciproque du théorème de Phytagore, sinon on ne peut rien faire.

Réciproque du théorème de Pythagore :

Si dans un triangle le carré de la longueur de plus grand coté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres cotés, alors ce triangle est un triangle rectangle.

Pour démontrer que le triangle ABC est rectangle, on calcule séparément et .


, donc
, donc d'après la réciproque du théorème de Phytagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Si ce triangle n'est pas rectanqle en un point alors il faut conclure en utilisant la conséquence ou la contraposée de ce théorème.

LE COSINUS :

Le cosinus sert à calculer des longueurs ou des angles dans un triangle rectangle. Le coté adjacent, c'est le coté qui touche l'angle que l'on considère mais qui n'est pas l'hypothénuse.

Le cosinus d'un angle est un nombre qui est égal à la longueur du coté adjacent divisé par la longueur de l'hypothénuse.

A=50°, AB=3cm, calculer AC. cm

PG=10cm, P=30°, calculer PS. cm

PU = 2 cm, OU = 3 cm, calculer l'angle U. Pour connaître la valeur de l'angle U, il faut ensuite chercher sur la calculatrice la touche cos-1 et rentrer cos-1(2/3). Le résultat donnera la valeur de l'angle U aproximativement.

Ces 3 exemples permettent de comprendre comment utiliser la formule du cosinus. Pour trouver le calcul à effectuer lors de l'avant denrière étape des 2 premiers exemples, tu dois cacher les longueurs AC et PS et effectuer un produit en croix avec les nombres qui restent.

Exercice d'application :

Emilie est à 30 mètres de l'arbre, elle mesure 20° entre le pied et le sommet de l'arbre, elle aimerait savoir quelle est la hauteur de l'arbre.
Si tu veux tu peux continuer sans résoudre ce problème (il n'est pas corrigé ici) sinon c'est un bon exercice.
A vous de trouver la reponse !

GEOMETRIE DE TROISIEME :

Théorème de Thalès

Exemple :

Calculer OA et DC.

Si les droites (AD) et (BC) sont parallèles, alors les nombres sont égaux. C'est le théorème de Thalès. Le nombre ne nous interesse pas ici. Par contre l'égalité est interessante car elle donne et ensuite avec un produit en croix, on trouve , donc , donc .

Le théorème de Thalès :

Si les droites (FM) et (CS) sont parallèles alors .

Exercice d'application:

Calculer CN dans le cas suivant sachant que (FA) et (CN) sont parallèles.

Les droites (FA) et (CN) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès, on a :

La réciproque du théorème de Thalès :

La réciproque du théorème de Thalès sert à démontrer que deux droites sont parallèles si on connait au moins 4 longueurs.

Pour démontrer que les droites (XY) et (WZ) sont parallèles, on calcule séparément les rapports et on montre ensuite qu'au moins deux d'entre eux sont égaux :

donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (XY) et (WZ) sont parallèles ou la contraposée comme pour le théorème de pythagore.

Trigonométrie

Formules du cosinus, du sinus, et de la tangente :

A retenir :

En regroupant les lettres 3 par 3 (deux du dessus et une du dessous), cela permet de retenir ces 3 formules qui servent beaucoup :

C'est exactement la même chose que le cosinus sauf qu'il y a deux formules en plus. Voici deux exemples d'application.

Application des formules de trigonométrie :

Calculer CI.

Par rapport à l'angle que l'on connait, on a le coté opposé et on cherche le coté adjacent, c'est donc la formule de la tangente qui convient.

Autre exemple :

Calculer l'angle .

Par rapport à l'angle que l'on cherche, on a le coté opposé et l'hypothénuse, c'est donc la formule du sinus qui convient.

Attention l'avant dernière étape est à faire à la calculatrice, les profs n'aiment pas que l'on l'écrive sur la feuille car le signe (-1) n'a rien à voir avec les puissances.

 

Vecteurs, repères

Vecteurs :

ex :
C'est une flèche. On peut dessiner un vecteur si on connait sa longueur, sa direction et son sens (le sens de la flèche). On peut lui donner un nom, le vecteur ci dessus appelons le vecteur . Il est inutile de savoir d'où il part. Par exemple, les vecteurs :

sont tous égaux. L'image B d'un point A par la translation de vecteur , c'est le point qui se trouve au bout du vecteur lorsque l'on met l'origine du vecteur au point A.

Si on va en haut puis que l'on va à droite, au total on a fait un trajet oblique. Pour additionner deux vecteurs, on les met l'un au bout de l'autre, la somme des deux vecteurs est alors le vecteur qui part de l'origine du premier et qui arrive au bout du deuxième.

On peut multiplier un vecteur par un nombre. Si on multiplie un vecteur par 3 on obtient un vecteur 3 fois plus long :

Si on multiplie un vecteur par un nombre négatif, celui ci change de sens, par exemple si on multiplie par -2 :

On peut aussi multiplier deux vecteurs entre eux mais pour comprendre cela il faut être en classe de 1ère S. C'est le produit scalaire.

Enfin, 8 - 5 = 8 + (-5). Pour soustraire deux vecteurs, on additionne le premier avec l'opposé du deuxième, c'est à dire le deuxième que l'on a multiplié par (-1).

Coordonnées d'un point :

Avec deux vecteurs "perpendiculaires" de même origine et de même longueur, on peut répérer des points dans un plan à l'aide de coordonnées.

Pour aller de 0 à A, il faut additionner 2 fois le vecteur avec 5 fois le vecteur . On dit que le point A a pour abscisse 2 et pour ordonnée 5. On écrit : A(2;5), ce qui se lit "A a pour coordonnées 2, 5". Cette technique permet de repérer avec des nombres la position de tous les points d'un tel dessin qui s'appelle un "repère du plan".

Distance entre 2 points dans un repère :

Si A(2,5) et que B(4,1), on peut calculer la distance de A à B.

En appliquant le théorème de Pythagore, les calculs donnent :

D'une manière générale, pour calculer la distance entre deux points quand on connait leurs coordonnées, si et , alors :

Tu dois bien apprendre cette formule.

Coordonnées du milieu d'un segment :

Sinon, si on te demande de calculer les coordonnées du milieu d'un segment [AB], il faut utiliser les deux formules qui donnent l'abscisse et l'ordonnée du milieu M du segment. Il faut calculer la moyenne des coordonnées de A et de B :

Coordonnées d'un vecteur :

Les coordonnées d'un vecteur, ce sont des nombres qui disent de combien le vecteur monte et de combien il avance. Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, il faut utiliser la formule :

Pour finir, revenons aux fonctions affines, on a vu qu'elles pouvaient se représenter par un graphique. Et bien avant de passer en seconde, tu dois aussi savoir que si et sont deux points qui appartiennent à la droite qui représente la fonction affine, alors le nombre est égal au coefficient directeur de la fonction affine. On dit aussi que c'est le coefficient directeur de la droite.